Grattacieli: come risolvere ogni griglia di Rooftops

Tecnica 1 · base

Il numero 1

Un 1 sul bordo vuol dire che da lì si vede esattamente un tetto. Il primo palazzo si vede sempre, quindi deve nascondere tutto quello che ha dietro, e solo l'altezza massima ci riesce. Scrivi il palazzo più alto, un 5 su una griglia 5×5, nella casella accanto a ogni 1. Non serve altro: niente note, niente conti. Fallo prima di tutto il resto, perché ognuno di questi palazzi toglie anche il 5 da tutta la sua riga e la sua colonna, ed è spesso proprio quello che serve al passo successivo.

Un 1 non dice niente sul resto della sua linea. Le caselle dietro il palazzo più alto sono nascoste qualunque cosa contengano, quindi la linea resta aperta. L'altro capo però può avere un numero utile, ed è proprio sulle caselle lontane che quel numero lavora.

Dove guardare: i quattro bordi di una griglia vuota. Di solito ci sono due o tre 1, e sono la partenza gratis.

Tecnica 2 · base

Il numero pieno

Il contrario di un 1 è un numero uguale alla dimensione della griglia: un 5 su una griglia 5×5. Vedere tutti e cinque i tetti vuol dire che nessun palazzo ne nasconde un altro, quindi ognuno deve essere più alto di tutti quelli davanti. Un solo ordine lo permette: 1, 2, 3, 4, 5, a salire dal numero. Riempi tutta la linea in una volta. Il numero pieno è più raro dell'1 ed è il numero più generoso che una griglia possa dare: fissa cinque caselle e cancella cinque altezze da altre cinque linee.

Quando un numero pieno e un 1 stanno uno di fronte all'altro sulla stessa linea, vanno d'accordo: l'1 vede il 5 al suo capo della linea, proprio dove finisce la scala. Notare questa coppia è un controllo veloce di aver letto bene entrambi i numeri.

Dove guardare: ogni numero uguale alla dimensione della griglia. Poi l'altro capo della stessa linea, per cercare un 1.

Tecnica 3 · base

Quanto dista il più alto dal bordo

Ogni numero tra 2 e N - 1 tiene lontani i palazzi alti. Un numero c chiede c tetti in vista, e ogni palazzo visibile sta davanti al più alto, quindi il più alto ha almeno c - 1 caselle davanti. Su una griglia 5×5 un 4 spinge il 5 almeno tre caselle verso l'interno. Lo stesso conto limita ogni casella: la casella accanto al numero c è al massimo N - c + 1, e ogni casella più all'interno permette un piano in più. Con un 4 su una griglia 5×5 fa 1 o 2, poi fino a 3, poi fino a 4.

Scrivi questi limiti come note al primo giro dei bordi, numero per numero. Un 2 esclude solo il palazzo più alto accanto a sé, ma un 3 o un 4 riempie interi tratti di linea di piccole note, e le tecniche successive lavorano proprio restringendo quelle note.

Dove guardare: i numeri più alti che non sono N, e le caselle subito accanto.

Tecnica 4 · base

Ultimo posto, ultima altezza

Rooftops è anche un quadrato latino: ogni altezza una volta per riga e per colonna, come un sudoku senza riquadri. Da qui due controlli veloci. Singolo nascosto: un'altezza che in una linea entra in una sola casella va lì. Singolo nudo: una casella a cui resta una sola altezza la prende. Il singolo nascosto è quello che sfugge, perché la casella in sé può sembrare ancora aperta. Scegli un'altezza, spesso la massima, e per ogni riga chiediti dove può ancora andare. Ogni palazzo di quell'altezza già sulla griglia blocca tutta la sua colonna.

Questi controlli non costano niente, quindi falli dopo ogni nuovo palazzo. Un passo sul bordo dà un singolo nel mezzo, il singolo toglie un'altezza da una linea che lo incrocia, e quella linea spesso consegna da sola la casella successiva.

Dove guardare: l'altezza già più presente sulla griglia. I suoi ultimi posti mancanti sono i più facili da trovare.

Tecnica 5 · intermedia

Numeri opposti

Due numeri ai due capi della stessa linea lavorano insieme. Il palazzo più alto si vede da entrambi i lati, quindi lo contano tutti e due i numeri, e ognuno ha bisogno degli altri suoi tetti davanti. Insieme non superano mai N + 1. Quando fanno esattamente N + 1 non resta margine: il palazzo più alto sta a c caselle dal numero c, da entrambi i lati insieme. Su una griglia 5×5 un 4 di fronte a un 2 mette il 5 nella quarta casella contando dal 4. Un 3 di fronte a un 3 lo mette al centro.

Quando la somma è più bassa, la coppia lascia comunque al più alto una finestra corta: almeno a - 1 caselle da un capo e b - 1 dall'altro. Combina quella finestra con i singoli: un 5 già in una colonna che la incrocia chiude spesso l'ultimo buco.

Dove guardare: linee con un numero a entrambi i capi. Sommali e confronta con N + 1.

Tecnica 6 · intermedia

Il 2 e il palazzo più alto

Quando il palazzo più alto di una linea è già al suo posto, un 2 diventa molto preciso. Il 2 vede il primo palazzo e il più alto, nient'altro. Quindi il primo palazzo, quello accanto al numero, deve essere più alto di tutti i palazzi tra lui e il più alto. A meno che il più alto non sia subito dietro, la prima casella non ha mai l'altezza più bassa rimasta, e il secondo più alto tra quelli rimasti sta o in quella prima casella o nascosto dietro il più alto. Quando restano aperte solo due o tre caselle, di solito questo le fissa tutte.

Leggilo insieme alle colonne. Nell'esempio la prima casella da destra non può essere il 4 perché la sua colonna ne ha già uno, quindi è il 3, e la casella davanti deve essere ancora più bassa. Un 2 con il più alto lontano è uno dei numeri più forti su una griglia risolta a metà.

Dove guardare: un 2 la cui linea ha già il palazzo più alto, con qualche casella aperta in mezzo.

Tecnica 7 · intermedia

Escludere altezze con la visibilità

È il metodo generale dietro le tre tecniche precedenti. Prendi una linea con un numero e poche caselle aperte, e prova ogni nota di ogni casella: se quell'altezza stesse lì, la linea potrebbe ancora mostrare il numero giusto di tetti? Se nessun ordine delle altezze rimaste funziona, cancella la nota. In pratica raramente serve scrivere tutti gli ordini. Cerca i palazzi che si vedranno comunque, di solito il più alto e il secondo più alto, e contali per primi. Se arrivano già al numero, ogni palazzo davanti a loro deve restare nascosto.

Nascosto vuol dire più basso di qualcosa che ha davanti. Questa sola idea toglie quasi tutte le note: un palazzo alto tra il numero e il più alto si vede, a meno che davanti non ce ne sia uno ancora più alto. Quando la linea ha un numero a entrambi i capi, prova ogni nota contro tutti e due.

Dove guardare: una linea con un numero e tre o quattro caselle aperte, quando il suo palazzo più alto è già al suo posto o ha solo due posti possibili.

Tecnica 8 · avanzata

Ragionare in avanti contando i tetti

Le griglie difficili arrivano a un punto in cui nessuna linea da sola dà più niente. Allora scegli una casella con due note, meglio se accanto a un numero, e immagina una delle due. Da lì segui solo i passi obbligati: singoli e numeri del bordo, niente che richieda una scelta. Se presto un numero dovrebbe vedere troppi tetti o troppo pochi, l'altezza immaginata era sbagliata, e la casella ha l'altra. Non è tirare a indovinare: l'altezza immaginata non resta mai, resta solo la prova che non funziona, e sulla griglia non cambia niente finché quella prova non è completa.

Tieni la catena corta e sorveglia i numeri. Le righe con due o tre note per casella finiscono prima le possibilità. Se una catena si allunga senza contraddizione, lasciala e prova l'altra altezza della stessa casella, o un'altra casella accanto a un numero.

Dove guardare: caselle con esattamente due note accanto a un numero, dove una riga o una colonna è quasi piena.

Errori comuni

• Contare i palazzi nascosti. Un numero conta i tetti che si vedono, non i palazzi. Un 3 dietro un 4 è nascosto, per quanto vicino al bordo stia.
• Dimenticare le caselle lontane. I limiti del bordo valgono da un lato solo. Le caselle lontane da un numero prendono i limiti dal numero all'altro capo, o da nessuno.
• Leggere un 2 come «il più alto è secondo». Un 2 dice solo che si vedono due tetti. Il palazzo più alto può stare dalla seconda casella fino all'altro capo.
• Scrivere un tentativo. Il ragionamento in avanti si fa a mente o nelle note. Mettere il palazzo immaginato e continuare a giocare nasconde il passo sbagliato sotto quelli dopo.