Strategie pro mrakodrapy: jak vyřešit každou mřížku Rooftops

Technika 1 · základní

Jednička na okraji

Jednička na okraji znamená, že odtud vidíš právě jednu střechu. První dům je vidět vždycky, takže musí zakrýt všechno za sebou, a to dokáže jen nejvyšší výška. Do políčka hned vedle každé jedničky napiš nejvyšší dům, na mřížce 5×5 pětku. Víc není potřeba: žádné poznámky, žádné počítání. Udělej to ze všeho nejdřív, protože každý takový dům zároveň vyškrtne pětku z celého svého řádku a sloupce, a právě to často potřebuje další krok.

O zbytku řady jednička neříká nic. Políčka za nejvyšším domem jsou zakrytá, ať v nich stojí cokoli, takže řada zůstává otevřená. Její druhý konec ale může mít vlastní užitečné číslo a právě na vzdálených políčkách to číslo odvede svou práci.

Kde hledat: na všech stranách čerstvé mřížky. Hlavolam mívá dvě nebo tři jedničky a ty jsou start zadarmo.

Technika 2 · základní

Plné číslo

Opakem jedničky je číslo rovné velikosti mřížky: pětka na mřížce 5×5. Vidět všech pět střech znamená, že žádný dům nesmí zakrýt jiný, takže každý musí být vyšší než všechny domy před ním. To splňuje jediné pořadí: 1, 2, 3, 4, 5, stoupající směrem od čísla. Vyplň celou řadu najednou. Plné číslo je vzácnější než jednička a je to nejštědřejší číslo, jaké hlavolam může dát: rozhodne pět políček a vyškrtne pět výšek z pěti dalších řad.

Když proti sobě na koncích téže řady stojí plné číslo a jednička, souhlasí spolu: jednička vidí pětku na svém konci řady, přesně tam, kde schody končí. Všimnout si takové dvojice je rychlá kontrola, že obě čísla čteš správně.

Kde hledat: u každého čísla rovného velikosti mřížky. Pak se podívej, jestli na opačném konci té řady není jednička.

Technika 3 · základní

Jak daleko od čísla stojí nejvyšší dům

Každé číslo od 2 do N - 1 drží vysoké domy dál od sebe. Číslo c potřebuje vidět c střech a každý viditelný dům stojí před tím nejvyšším, takže nejvyšší dům má před sebou aspoň c - 1 políček. Na mřížce 5×5 odsune čtyřka pětku aspoň o tři políčka dovnitř. Stejný počet omezuje i každé políčko: políčko hned u čísla c má nejvýš N - c + 1 a každý krok dál dovoluje o patro víc. Se čtyřkou na mřížce 5×5 to dává 1 nebo 2, pak nejvýš 3 a pak nejvýš 4.

Tyto limity si zapiš jako poznámky hned při prvním průchodu okraji, číslo po čísle. Dvojka vylučuje jen nejvyšší dům hned vedle sebe, ale trojka nebo čtyřka zaplní celé úseky řady malými poznámkami a pozdější techniky fungují právě tak, že tyto poznámky zužují.

Kde hledat: u nejvyšších čísel, která nejsou N, a v políčkách nejblíž k nim.

Technika 4 · základní

Poslední místo a poslední výška

Rooftops je zároveň latinský čtverec: každá výška jednou v každém řádku i sloupci, jako sudoku bez čtverců. To dává dvě rychlé kontroly. Skrytý singl: výška, která v řadě může jen do jednoho políčka, patří tam. Nahý singl: políčko, kterému zbyla jediná výška, ji dostane. Hráči přehlížejí hlavně skrytý singl, protože samo políčko může pořád vypadat otevřeně. Vyber si výšku, často tu nejvyšší, a u každého řádku se zeptej, kam ještě může. Každý dům té výšky, který už na mřížce stojí, blokuje celý svůj sloupec.

Tyto kontroly nic nestojí, tak je dělej po každém novém domě. Krok s číslem na okraji přinese singl uprostřed, singl vyškrtne výšku z řady, která ho kříží, a ta řada pak často sama vydá další políčko.

Kde hledat: u výšky, která už na mřížce stojí nejčastěji. Její poslední chybějící místa najdeš nejsnáz.

Technika 5 · pokročilejší

Protilehlá čísla

Dvě čísla na obou koncích jedné řady pracují spolu. Nejvyšší dům je vidět z obou stran, takže ho započítají obě čísla, a každé číslo navíc potřebuje své další střechy před ním. Součet obou čísel tak nikdy nemůže být větší než N + 1. Když je přesně N + 1, nezbývá žádná vůle: nejvyšší dům stojí c políček od čísla c, z obou stran zároveň. Na mřížce 5×5 dá čtyřka proti dvojce pětku na čtvrté políčko od čtyřky. Trojka proti trojce ji dá doprostřed.

Když je součet menší, dvojice pořád nechá nejvyššímu domu úzké okno: aspoň a - 1 políček od jednoho konce a b - 1 od druhého. Spoj to okno se singly: pětka, která už stojí v křížícím sloupci, často zavře poslední mezeru.

Kde hledat: v řadách s čísly na obou koncích. Sečti je a porovnej s N + 1.

Technika 6 · pokročilejší

Dvojka a nejvyšší dům

Jakmile v řadě stojí nejvyšší dům, je dvojka velmi přesná. Dvojka vidí první dům a ten nejvyšší, nic dalšího. První dům, ten hned u čísla, tedy musí být vyšší než všechny domy mezi ním a nejvyšším. Pokud nejvyšší nestojí hned za ním, není první políčko nikdy nejnižší zbylou výškou a druhý nejvyšší zbylý dům je buď v tom prvním políčku, nebo schovaný za nejvyšším. Když jsou otevřená jen dvě nebo tři políčka, obvykle to rozhodne všechna.

Čti to spolu se sloupci. V příkladu nemůže být první políčko zprava čtyřka, protože jeho sloupec už ji má, takže to musí být trojka a políčko před ní musí být ještě nižší. Dvojka s nejvyšším domem daleko je na napůl vyřešené mřížce jedno z nejsilnějších čísel.

Kde hledat: u dvojky, v jejíž řadě už stojí nejvyšší dům a mezi nimi je pár otevřených políček.

Technika 7 · pokročilejší

Vylučování výšek podle viditelnosti

Tohle je obecná metoda, která stojí za posledními třemi technikami. Vezmi řadu s číslem a pár otevřenými políčky a vyzkoušej každou poznámku v každém políčku: kdyby tam stála tato výška, mohla by řada pořád ukázat správný počet střech? Pokud nefunguje žádné pořadí zbylých výšek, poznámku vyškrtni. V praxi zřídka potřebuješ vypsat všechna pořadí. Najdi domy, které budou vidět v každém případě, obvykle nejvyšší a druhý nejvyšší, a spočítej je jako první. Když už samy dosáhnou čísla, každý dům před nimi musí zůstat zakrytý.

Zakrytý znamená nižší než některý dům před ním. Tahle jediná myšlenka odstraní většinu poznámek: vysoký dům mezi číslem a nejvyšším domem je vidět, pokud před ním nestojí ještě vyšší. Když má řada čísla na obou koncích, prověř každou poznámku proti oběma.

Kde hledat: v řadě s číslem, kde jsou otevřená tři nebo čtyři políčka a její nejvyšší dům už stojí nebo zbývají jen dvě políčka, kde může stát.

Technika 8 · pro pokročilé

Co kdyby: zkouška na počtu střech

Těžké mřížky dojdou do bodu, kdy žádná jednotlivá řada nic nedá. Pak vyber políčko se dvěma poznámkami, nejlépe u čísla, a jednu z nich si představ. Odtud sleduj jen vynucené kroky: singly a čísla na okraji, nic, co vyžaduje volbu. Pokud brzy nějaké číslo musí vidět příliš mnoho nebo příliš málo střech, představená výška byla špatně a v políčku je ta druhá. Tohle není hádání: představenou výšku si nikdy nenecháš, jen důkaz, že nefunguje, a na mřížce se nic nezmění, dokud ten důkaz není hotový.

Řetěz drž krátký a hlídej čísla. Nejrychleji docházejí možnosti v řádcích se dvěma nebo třemi poznámkami v políčku. Když se řetěz natahuje a ke sporu nevede, zahoď ho a zkus druhou výšku téhož políčka nebo jiné políčko u čísla.

Kde hledat: u políček s přesně dvěma poznámkami vedle čísla, v řadách, kde je některý řádek nebo sloupec skoro plný.

Časté chyby

• Počítání zakrytých domů. Číslo počítá střechy, které vidíš, ne domy. Trojka za čtyřkou je zakrytá, ať stojí sebeblíž okraji.
• Zapomenutá vzdálená políčka. Limity u okraje platí jen z jedné strany. Políčka daleko od čísla dostanou limity od čísla na druhém konci, nebo od žádného.
• Dvojka jako „nejvyšší je druhý“. Dvojka říká jen to, že jsou vidět dvě střechy. Nejvyšší dům může stát kdekoli od druhého políčka až po vzdálený konec.
• Zapsaný tip. Co kdyby se odehrává v hlavě nebo v poznámkách. Když představený dům postavíš a hraješ dál, chybný krok se schová pod pozdější tahy.