Wieżowce: jak rozwiązać każdą planszę Rooftops

Technika 1 · podstawy

Wskazówka 1

Jedynka na brzegu znaczy, że z tego miejsca widać dokładnie jeden dach. Pierwszy budynek widać zawsze, więc musi zasłonić wszystko za sobą, a potrafi to tylko największa wysokość. Wpisz najwyższy budynek, na planszy 5×5 piątkę, w pole tuż przy każdej jedynce. Nic więcej nie trzeba: żadnych notatek, żadnego liczenia. Zrób to przed wszystkim innym, bo każdy taki budynek wykreśla też piątkę z całego swojego wiersza i kolumny, a właśnie tego często potrzebuje następny krok.

O reszcie linii jedynka nic nie mówi. Pola za najwyższym budynkiem są zasłonięte bez względu na to, co w nich stoi, więc linia zostaje otwarta. Jej drugi koniec może jednak mieć własną, przydatną wskazówkę, która działa właśnie na dalekie pola.

Gdzie szukać: na wszystkich czterech brzegach świeżej planszy. Zwykle są dwie albo trzy jedynki i to one dają darmowy start.

Technika 2 · podstawy

Pełna wskazówka

Przeciwieństwem jedynki jest wskazówka równa rozmiarowi planszy: piątka na planszy 5×5. Skoro widać wszystkie pięć dachów, żaden budynek nie może zasłaniać innego, więc każdy musi być wyższy od wszystkich przed nim. Tak działa tylko jedna kolejność: 1, 2, 3, 4, 5, rosnąco od wskazówki. Wypełnij całą linię naraz. Pełna wskazówka trafia się rzadziej niż jedynka i jest najhojniejszą wskazówką, jaką może dać łamigłówka: ustala pięć pól i wykreśla pięć wysokości z pięciu innych linii.

Gdy pełna wskazówka i jedynka stoją naprzeciw siebie na tej samej linii, zgadzają się: jedynka widzi piątkę na swoim końcu linii, dokładnie tam, gdzie kończą się schodki. Taka para to szybki sprawdzian, czy obie wskazówki są dobrze odczytane.

Gdzie szukać: każda wskazówka równa rozmiarowi planszy. Potem drugi koniec tej linii: czy nie ma tam jedynki.

Technika 3 · podstawy

Jak daleko od wskazówki stoi najwyższy

Każda wskazówka od 2 do N - 1 trzyma wysokie budynki z dala od siebie. Wskazówka c potrzebuje c widocznych dachów, a każdy widoczny budynek stoi przed najwyższym, więc najwyższy ma przed sobą co najmniej c - 1 pól. Na planszy 5×5 czwórka odsuwa piątkę co najmniej o trzy pola w głąb. Ten sam rachunek ogranicza każde pole: pole tuż przy wskazówce c ma najwyżej N - c + 1, a każde kolejne dalej może mieć jedno piętro więcej. Przy czwórce na planszy 5×5 daje to 1 albo 2, potem do 3, potem do 4.

Wpisz te limity jako notatki przy pierwszym obejściu brzegów, wskazówka po wskazówce. Dwójka wyklucza tylko najwyższy budynek tuż obok, ale trójka czy czwórka wypełnia całe odcinki linii drobnymi notatkami, a późniejsze techniki polegają właśnie na zawężaniu tych notatek.

Gdzie szukać: najwyższe wskazówki mniejsze od N i pola tuż przy nich.

Technika 4 · podstawy

Ostatnie miejsce, ostatnia wysokość

Rooftops to też kwadrat łaciński: każda wysokość raz w każdym wierszu i każdej kolumnie, jak sudoku bez kwadratów. Stąd dwa szybkie sprawdzenia. Ukryta pojedynka: wysokość, która w linii mieści się tylko w jednym polu, idzie tam. Naga pojedynka: pole, któremu została jedna wysokość, dostaje ją. Ukrytą pojedynkę łatwo przeoczyć, bo samo pole może jeszcze wyglądać na otwarte. Weź jedną wysokość, często najwyższą, i dla każdego wiersza zapytaj, gdzie jeszcze może stanąć. Każdy budynek tej wysokości na planszy blokuje całą swoją kolumnę.

Te sprawdzenia nic nie kosztują, więc rób je po każdym nowym budynku. Krok przy brzegu daje pojedynkę w środku, pojedynka wykreśla wysokość z linii, która ją przecina, a ta linia często sama oddaje następne pole.

Gdzie szukać: wysokość, która najczęściej stoi już na planszy. Jej ostatnie brakujące miejsca znajduje się najłatwiej.

Technika 5 · średni poziom

Wskazówki naprzeciw siebie

Dwie wskazówki na obu końcach jednej linii działają razem. Najwyższy budynek widać z obu stron, więc liczą go obie wskazówki, a każda potrzebuje jeszcze swoich pozostałych dachów przed nim. Razem dwie wskazówki nigdy nie dają więcej niż N + 1. Gdy dają dokładnie N + 1, nie ma żadnego luzu: najwyższy budynek stoi c pól od wskazówki c, z obu stron naraz. Na planszy 5×5 czwórka naprzeciw dwójki stawia piątkę na czwartym polu od czwórki. Trójka naprzeciw trójki stawia ją pośrodku.

Gdy suma jest mniejsza, para i tak zostawia najwyższemu krótkie okno: co najmniej a - 1 pól od jednego końca i b - 1 od drugiego. Połącz to okno z pojedynkami: piątka w kolumnie, która przecina linię, często zamyka ostatnią lukę.

Gdzie szukać: linie ze wskazówkami na obu końcach. Dodaj je i porównaj z N + 1.

Technika 6 · średni poziom

Dwójka i najwyższy budynek

Gdy najwyższy budynek linii już stoi, dwójka staje się bardzo dokładna. Dwójka widzi pierwszy budynek i najwyższy, nic więcej. Pierwszy budynek, ten tuż przy wskazówce, musi więc być wyższy od wszystkich budynków między nim a najwyższym. Jeśli najwyższy nie stoi tuż za nim, pierwsze pole nigdy nie ma najmniejszej z wolnych wysokości, a drugi co do wysokości z wolnych budynków stoi albo w tym pierwszym polu, albo schowany za najwyższym. Gdy otwarte są tylko dwa albo trzy pola, zwykle ustala to wszystkie.

Czytaj to razem z kolumnami. W przykładzie pierwsze pole od prawej nie może mieć czwórki, bo jego kolumna już ją ma, więc ma trójkę, a pole przed nim musi być jeszcze niższe. Dwójka z najwyższym budynkiem daleko to jedna z najmocniejszych wskazówek na w połowie rozwiązanej planszy.

Gdzie szukać: dwójka, której linia ma już najwyższy budynek, z kilkoma otwartymi polami pomiędzy.

Technika 7 · średni poziom

Wykluczanie wysokości przez widoczność

To ogólna metoda, na której stoją trzy poprzednie techniki. Weź linię ze wskazówką i kilkoma otwartymi polami i sprawdź każdą notatkę w każdym polu: gdyby stała tu ta wysokość, czy linia mogłaby jeszcze pokazać właściwą liczbę dachów? Jeśli żadna kolejność pozostałych wysokości nie pasuje, wykreśl notatkę. W praktyce rzadko trzeba wypisywać wszystkie kolejności. Znajdź budynki, które będą widoczne w każdym razie, zwykle najwyższy i drugi co do wysokości, i policz je najpierw. Jeśli już dają liczbę ze wskazówki, każdy budynek przed nimi musi zostać zasłonięty.

Zasłonięty znaczy: niższy od czegoś przed nim. Ta jedna myśl usuwa większość notatek: wysoki budynek między wskazówką a najwyższym jest widoczny, chyba że przed nim stoi jeszcze wyższy. Gdy linia ma wskazówki na obu końcach, sprawdzaj każdą notatkę z obiema.

Gdzie szukać: linia ze wskazówką i trzema albo czterema otwartymi polami, gdy jej najwyższy budynek już stoi albo ma tylko dwa możliwe miejsca.

Technika 8 · zaawansowana

Myślenie naprzód z liczeniem dachów

Trudne plansze dochodzą do miejsca, w którym żadna pojedyncza linia nic już nie daje. Wtedy wybierz pole z dwiema notatkami, najlepiej przy wskazówce, i wyobraź sobie jedną z nich. Idź dalej tylko wymuszonymi krokami: pojedynki i wskazówki z brzegu, nic, co wymaga wyboru. Jeśli wkrótce któraś wskazówka musiałaby widzieć za dużo albo za mało dachów, wyobrażona wysokość była zła i pole ma tę drugą. To nie zgadywanie: wyobrażonej wysokości nigdy się nie zostawia, zostaje tylko dowód, że nie pasuje, a na planszy nic się nie zmienia, zanim ten dowód jest gotowy.

Trzymaj łańcuch krótki i pilnuj wskazówek. Najszybciej kończą się możliwości w wierszach z dwiema albo trzema notatkami w polu. Jeśli łańcuch robi się długi bez sprzeczności, porzuć go i sprawdź drugą wysokość tego samego pola albo inne pole przy wskazówce.

Gdzie szukać: pola z dokładnie dwiema notatkami przy wskazówce, tam gdzie wiersz albo kolumna jest prawie pełna.

Częste błędy

• Liczenie zasłoniętych budynków. Wskazówka liczy widoczne dachy, nie budynki. Trójka za czwórką jest zasłonięta, nawet jeśli stoi blisko brzegu.
• Zapominanie o dalekich polach. Limity przy brzegu działają tylko z jednej strony. Pola daleko od wskazówki dostają limity od wskazówki z drugiego końca albo nie dostają ich wcale.
• Czytanie dwójki jako „najwyższy stoi drugi”. Dwójka mówi tylko, że widać dwa dachy. Najwyższy budynek może stać od drugiego pola aż po drugi koniec linii.
• Wpisywanie strzału. Myślenie naprzód dzieje się w głowie albo w notatkach. Postawienie wyobrażonego budynku i granie dalej chowa zły krok pod kolejnymi.