Wolkenkratzer-Rätsel lösen: Techniken und Tipps für jedes Rooftops-Raster

Technik 1 · Grundlage

Die Randzahl 1

Eine 1 am Rand heißt: Von dort sieht man genau ein Dach. Das erste Gebäude ist immer zu sehen, also muss es alles dahinter verdecken, und das kann nur die größte Höhe. Schreib das höchste Gebäude, auf einem 5×5-Raster die 5, in das Feld direkt neben jeder 1. Mehr braucht es nicht: keine Notizen, kein Zählen. Mach das vor allem anderen, denn jedes dieser Gebäude streicht die 5 auch aus seiner ganzen Zeile und Spalte, und genau das braucht oft der nächste Schritt.

Über den Rest der Linie sagt eine 1 nichts. Die Felder hinter dem höchsten Gebäude sind verdeckt, egal was dort steht, die Linie bleibt also offen. Ihr anderes Ende kann aber eine eigene, nützliche Randzahl haben, und die wirkt gerade auf die fernen Felder.

Wo suchen: an allen vier Seiten eines frischen Rasters. Meist gibt es zwei oder drei Einsen, und sie sind der geschenkte Anfang.

Technik 2 · Grundlage

Die volle Randzahl

Das Gegenstück zur 1 ist eine Randzahl so groß wie das Raster: eine 5 auf einem 5×5-Raster. Wer alle fünf Dächer sieht, dem darf kein Gebäude ein anderes verdecken, also muss jedes höher sein als alle davor. Das schafft nur eine Reihenfolge: 1, 2, 3, 4, 5, aufsteigend von der Randzahl weg. Füll die ganze Linie auf einmal. Die volle Randzahl ist seltener als die 1 und die großzügigste Zahl, die ein Rätsel geben kann: Sie legt fünf Felder fest und streicht fünf Höhen aus fünf anderen Linien.

Stehen sich eine volle Randzahl und eine 1 an derselben Linie gegenüber, passen sie zusammen: Die 1 sieht die 5 an ihrem Ende der Linie, genau dort, wo die Treppe endet. So ein Paar ist eine schnelle Probe, ob man beide Zahlen richtig gelesen hat.

Wo suchen: jede Randzahl so groß wie das Raster. Dann am anderen Ende derselben Linie nach einer 1 schauen.

Technik 3 · Grundlage

Wie weit das höchste Haus vom Rand steht

Jede Randzahl zwischen 2 und N - 1 hält die hohen Gebäude auf Abstand. Eine Randzahl c braucht c sichtbare Dächer, und jedes sichtbare Gebäude steht vor dem höchsten, also hat das höchste mindestens c - 1 Felder vor sich. Auf einem 5×5-Raster schiebt eine 4 die 5 mindestens drei Felder nach innen. Dieselbe Rechnung begrenzt jedes Feld: Das Feld neben der Randzahl c ist höchstens N - c + 1, und jedes weitere Feld nach innen darf ein Stockwerk mehr haben. Bei einer 4 auf 5×5 heißt das: 1 oder 2, dann bis 3, dann bis 4.

Trag diese Grenzen beim ersten Durchgang um den Rand als Notizen ein, Zahl für Zahl. Eine 2 schließt nur das höchste Gebäude direkt daneben aus, aber eine 3 oder 4 füllt ganze Stücke einer Linie mit kleinen Notizen, und die späteren Techniken arbeiten genau damit, diese Notizen einzuengen.

Wo suchen: die höchsten Randzahlen, die nicht N sind, und die Felder direkt daneben.

Technik 4 · Grundlage

Letzter Platz, letzte Höhe

Rooftops ist auch ein lateinisches Quadrat: jede Höhe einmal pro Zeile und Spalte, wie ein Sudoku ohne Blöcke. Das ergibt zwei schnelle Prüfungen. Versteckter Single: Eine Höhe, die in einer Linie nur in ein Feld passt, kommt dorthin. Nackter Single: Ein Feld, das nur noch eine Höhe zulässt, bekommt sie. Den versteckten Single übersieht man leicht, weil das Feld selbst noch offen wirken kann. Nimm eine Höhe, oft die größte, und frag für jede Zeile, wo sie noch hinpasst. Jedes Gebäude dieser Höhe auf dem Raster sperrt seine ganze Spalte.

Diese Prüfungen kosten wenig, also mach sie nach jedem neuen Gebäude. Ein Schritt am Rand liefert einen Single in der Mitte, der Single streicht eine Höhe aus einer kreuzenden Linie, und diese Linie gibt ihr nächstes Feld oft von selbst her.

Wo suchen: die Höhe, die schon am häufigsten auf dem Raster steht. Ihre letzten fehlenden Plätze findet man am leichtesten.

Technik 5 · Fortgeschritten

Gegenüberliegende Randzahlen

Zwei Randzahlen an den beiden Enden einer Linie arbeiten zusammen. Das höchste Gebäude sieht man von beiden Seiten, also zählen es beide Zahlen, und jede braucht ihre übrigen Dächer davor. Zusammen können die beiden Zahlen nie mehr als N + 1 ergeben. Ergeben sie genau N + 1, bleibt kein Spielraum: Das höchste Gebäude steht c Felder von der Randzahl c entfernt, von beiden Seiten zugleich. Auf einem 5×5-Raster setzt eine 4 gegenüber einer 2 die 5 aufs vierte Feld von der 4 aus. Eine 3 gegenüber einer 3 setzt sie in die Mitte.

Ist die Summe kleiner, lässt das Paar dem höchsten Gebäude trotzdem nur ein kurzes Fenster: mindestens a - 1 Felder vom einen Ende und b - 1 vom anderen. Kombiniere dieses Fenster mit den Singles: Eine 5 in einer kreuzenden Spalte schließt oft die letzte Lücke.

Wo suchen: Linien mit Randzahlen an beiden Enden. Addieren und mit N + 1 vergleichen.

Technik 6 · Fortgeschritten

Die 2 und das höchste Gebäude

Steht das höchste Gebäude einer Linie schon fest, wird eine 2 sehr genau. Die 2 sieht das erste Gebäude und das höchste, sonst nichts. Also muss das erste Gebäude, das direkt neben der Randzahl, höher sein als alle Gebäude zwischen ihm und dem höchsten. Außer wenn das höchste direkt dahinter steht, ist das erste Feld nie die kleinste noch freie Höhe, und das zweithöchste freie Gebäude steht entweder in diesem ersten Feld oder versteckt hinter dem höchsten. Sind nur zwei oder drei Felder offen, legt das meist alle fest.

Lies es zusammen mit den Spalten. Im Beispiel kann das erste Feld von rechts nicht die 4 sein, weil seine Spalte schon eine hat, also ist es die 3, und das Feld davor muss noch niedriger sein. Eine 2 mit dem höchsten Gebäude weit weg ist eine der stärksten Zahlen auf einem halb gelösten Raster.

Wo suchen: eine 2, deren Linie ihr höchstes Gebäude schon hat, mit ein paar offenen Feldern dazwischen.

Technik 7 · Fortgeschritten

Höhen über die Sicht ausschließen

Das ist die allgemeine Methode hinter den letzten drei Techniken. Nimm eine Linie mit Randzahl und wenigen offenen Feldern und prüf jede Notiz in jedem Feld: Stünde diese Höhe dort, könnte die Linie noch die richtige Zahl von Dächern zeigen? Geht keine Reihenfolge der übrigen Höhen auf, streich die Notiz. In der Praxis muss man selten alle Reihenfolgen aufschreiben. Such die Gebäude, die auf jeden Fall sichtbar sind, meist das höchste und das zweithöchste, und zähl sie zuerst. Erreichen sie die Randzahl schon, muss jedes Gebäude davor verdeckt bleiben.

Verdeckt heißt: niedriger als etwas davor. Diese eine Idee streicht die meisten Notizen: Ein hohes Gebäude zwischen Randzahl und höchstem Haus ist sichtbar, außer ein noch höheres steht davor. Hat die Linie an beiden Enden Randzahlen, prüf jede Notiz gegen beide.

Wo suchen: eine Linie mit Randzahl und drei oder vier offenen Feldern, deren höchstes Gebäude steht oder nur noch zwei Plätze hat.

Technik 8 · Profi

Vorausdenken mit den Randzahlen

Schwere Raster kommen an einen Punkt, an dem keine einzelne Linie mehr etwas hergibt. Dann nimm ein Feld mit zwei Notizen, am besten neben einer Randzahl, und stell dir eine davon vor. Folge von dort nur den erzwungenen Schritten: Singles und Randzahlen, nichts, was eine Wahl braucht. Muss bald eine Randzahl zu viele oder zu wenige Dächer sehen, war die gedachte Höhe falsch, und das Feld hat die andere. Das ist kein Raten: Die gedachte Höhe behältst du nie, nur den Beweis, dass sie scheitert, und auf dem Raster ändert sich nichts, bevor der Beweis fertig ist.

Halte die Kette kurz und behalte die Randzahlen im Blick. Zeilen mit zwei oder drei Notizen pro Feld gehen am schnellsten die Möglichkeiten aus. Wird eine Kette lang ohne Widerspruch, brich sie ab und versuch die andere Höhe desselben Felds oder ein anderes Feld neben einer Randzahl.

Wo suchen: Felder mit genau zwei Notizen neben einer Randzahl, wo eine Zeile oder Spalte fast voll ist.

Häufige Fehler

• Verdeckte Gebäude mitzählen. Eine Randzahl zählt sichtbare Dächer, nicht Gebäude. Eine 3 hinter einer 4 ist verdeckt, egal wie nah sie am Rand steht.
• Die fernen Felder vergessen. Die Grenzen am Rand kommen nur von einer Seite. Die Felder weit weg von einer Randzahl bekommen ihre Grenzen von der Zahl am anderen Ende oder gar keine.
• Eine 2 als „das höchste steht an zweiter Stelle“ lesen. Eine 2 sagt nur, dass zwei Dächer zu sehen sind. Das höchste Gebäude kann vom zweiten Feld bis ganz ans andere Ende stehen.
• Einen Versuch eintragen. Vorausdenken passiert im Kopf oder in den Notizen. Wer das gedachte Gebäude setzt und weiterspielt, versteckt den falschen Schritt unter den späteren.