Como resolver arranha-céus: técnicas para cada tabuleiro do Rooftops

Técnica 1 · básica

A pista 1

Um 1 na borda quer dizer que dali se vê exatamente um telhado. O primeiro prédio sempre aparece, então ele precisa esconder tudo o que está atrás, e só a maior altura consegue isso. Escreva o prédio mais alto, um 5 num tabuleiro 5×5, na casa logo ao lado de cada 1. Não precisa de mais nada: nem notas, nem contas. Faça isso antes de qualquer outra coisa, porque cada um desses prédios também tira o 5 da linha e da coluna inteiras, e muitas vezes é disso que o passo seguinte precisa.

Um 1 não diz nada sobre o resto da linha. As casas atrás do prédio mais alto ficam escondidas seja o que for que tenham, então a linha continua aberta. A outra ponta, porém, pode ter uma pista útil, e é justamente nas casas distantes que ela trabalha.

Onde olhar: as quatro bordas de um tabuleiro vazio. Costuma haver dois ou três 1, e eles são o começo de graça.

Técnica 2 · básica

A pista cheia

O contrário do 1 é uma pista igual ao tamanho do tabuleiro: um 5 num tabuleiro 5×5. Ver os cinco telhados quer dizer que nenhum prédio esconde outro, então cada um tem de ser mais alto que todos os que estão à frente. Só uma ordem faz isso: 1, 2, 3, 4, 5, subindo a partir da pista. Preencha a linha inteira de uma vez. A pista cheia é mais rara que o 1 e é a pista mais generosa que um tabuleiro pode dar: fixa cinco casas e risca cinco alturas de outras cinco linhas.

Quando uma pista cheia e um 1 ficam frente a frente na mesma linha, eles concordam: o 1 vê o 5 na ponta dele, exatamente onde a escada termina. Notar esse par é um jeito rápido de conferir que você leu as duas pistas direito.

Onde olhar: qualquer pista igual ao tamanho do tabuleiro. Depois, a outra ponta da mesma linha, para ver se há um 1.

Técnica 3 · básica

A que distância da borda fica o mais alto

Toda pista entre 2 e N - 1 mantém os prédios altos longe dela. Uma pista c precisa de c telhados à vista, e todo prédio visível fica na frente do mais alto, então o mais alto tem pelo menos c - 1 casas à frente. Num tabuleiro 5×5, um 4 empurra o 5 pelo menos três casas para dentro. A mesma conta limita cada casa: a casa ao lado da pista c é no máximo N - c + 1, e cada casa mais para dentro permite um andar a mais. Com um 4 num tabuleiro 5×5, isso dá 1 ou 2, depois até 3, depois até 4.

Anote esses limites na primeira volta pelas bordas, pista por pista. Um 2 só exclui o prédio mais alto ao lado dele, mas um 3 ou um 4 enche trechos inteiros da linha de notas pequenas, e as técnicas seguintes consistem justamente em ir estreitando essas notas.

Onde olhar: as pistas mais altas que não são N, e as casas logo ao lado delas.

Técnica 4 · básica

Último lugar, última altura

O Rooftops também é um quadrado latino: cada altura uma vez por linha e por coluna, como um sudoku sem as caixas. Isso dá duas verificações rápidas. Single escondido: uma altura que só cabe numa casa da linha vai para lá. Single nu: uma casa que só tem uma altura sobrando fica com ela. O single escondido é o que mais passa despercebido, porque a própria casa ainda pode parecer aberta. Escolha uma altura, muitas vezes a maior, e pergunte em cada linha onde ela ainda pode ir. Cada prédio dessa altura já no tabuleiro bloqueia a coluna inteira.

Essas verificações não custam nada, então faça-as depois de cada prédio novo. Um passo na borda dá um single no meio, o single tira uma altura de uma linha que o cruza, e essa linha muitas vezes entrega a próxima casa sozinha.

Onde olhar: a altura que mais aparece no tabuleiro. Os últimos lugares que faltam para ela são os mais fáceis de achar.

Técnica 5 · intermediária

Pistas opostas

Duas pistas nas duas pontas da mesma linha trabalham juntas. O prédio mais alto é visto dos dois lados, então as duas pistas o contam, e cada uma ainda precisa dos outros telhados à frente dele. Juntas, as duas nunca passam de N + 1. Quando somam exatamente N + 1, não sobra folga: o prédio mais alto fica a c casas da pista c, dos dois lados ao mesmo tempo. Num tabuleiro 5×5, um 4 de frente para um 2 põe o 5 na quarta casa contando a partir do 4. Um 3 de frente para um 3 o põe no meio.

Quando a soma é menor, o par ainda deixa ao mais alto uma janela curta: pelo menos a - 1 casas de uma ponta e b - 1 da outra. Combine essa janela com os singles: um 5 já numa coluna que cruza a linha muitas vezes fecha a última lacuna.

Onde olhar: linhas com pista nas duas pontas. Some as duas e compare com N + 1.

Técnica 6 · intermediária

O 2 e o prédio mais alto

Quando o prédio mais alto da linha já está no lugar, um 2 fica muito preciso. O 2 vê o primeiro prédio e o mais alto, nada mais. Então o primeiro prédio, o que fica ao lado da pista, tem de ser mais alto que todos os prédios entre ele e o mais alto. A não ser que o mais alto esteja logo atrás, a primeira casa nunca tem a menor altura que sobra, e o segundo mais alto dos que sobram fica ou nessa primeira casa ou escondido atrás do mais alto. Quando só há duas ou três casas abertas, isso costuma fixar todas.

Leia junto com as colunas. No exemplo, a primeira casa a partir da direita não pode ser o 4 porque a coluna dela já tem um, então é o 3, e a casa da frente tem de ser ainda mais baixa. Um 2 com o mais alto longe é uma das pistas mais fortes num tabuleiro resolvido pela metade.

Onde olhar: um 2 cuja linha já tem o prédio mais alto, com algumas casas abertas entre os dois.

Técnica 7 · intermediária

Eliminar alturas pela visibilidade

Este é o método geral por trás das três técnicas anteriores. Pegue uma linha com pista e poucas casas abertas e teste cada nota de cada casa: se essa altura estivesse ali, a linha ainda poderia mostrar o número certo de telhados? Se nenhuma ordem das alturas restantes funcionar, risque a nota. Na prática, quase nunca é preciso escrever todas as ordens. Procure os prédios que vão aparecer de qualquer jeito, em geral o mais alto e o segundo mais alto, e conte-os primeiro. Se eles já chegam à pista, todo prédio na frente deles tem de ficar escondido.

Escondido quer dizer mais baixo que algo à frente dele. Essa ideia sozinha tira a maioria das notas: um prédio alto entre a pista e o mais alto aparece, a não ser que um ainda mais alto esteja na frente dele. Quando a linha tem pista nas duas pontas, teste cada nota contra as duas.

Onde olhar: uma linha com pista e três ou quatro casas abertas, quando o prédio mais alto já está no lugar ou só tem dois lugares possíveis.

Técnica 8 · avançada

Pensar adiante contando telhados

Os tabuleiros difíceis chegam a um ponto em que nenhuma linha sozinha dá mais nada. Então escolha uma casa com duas notas, de preferência ao lado de uma pista, e imagine uma delas. A partir daí, siga só os passos forçados: singles e pistas da borda, nada que exija escolha. Se logo uma pista tiver de ver telhados demais ou de menos, a altura imaginada estava errada, e a casa tem a outra. Isso não é chutar: a altura imaginada nunca fica, só a prova de que ela falha, e nada muda no tabuleiro antes de essa prova estar completa.

Mantenha a cadeia curta e fique de olho nas pistas. Linhas com duas ou três notas por casa são as que ficam sem opções mais rápido. Se a cadeia ficar longa sem contradição, largue-a e teste a outra altura da mesma casa, ou outra casa ao lado de uma pista.

Onde olhar: casas com exatamente duas notas ao lado de uma pista, onde uma linha ou coluna está quase cheia.

Erros comuns

• Contar os prédios escondidos. Uma pista conta os telhados que se veem, não os prédios. Um 3 atrás de um 4 fica escondido, por mais perto da borda que esteja.
• Esquecer as casas distantes. Os limites da borda valem só de um lado. As casas longe de uma pista recebem os limites da pista da outra ponta, ou de nenhuma.
• Ler um 2 como "o mais alto está em segundo". Um 2 só diz que aparecem dois telhados. O prédio mais alto pode estar da segunda casa até a outra ponta.
• Escrever um chute. Pensar adiante se faz de cabeça ou nas notas. Pôr o prédio imaginado e seguir jogando esconde o passo errado embaixo dos seguintes.