Gratte-ciel : astuces et techniques pour résoudre chaque grille Rooftops

Technique 1 · base

Le nombre 1

Un 1 au bord veut dire qu’on voit exactement un toit depuis là. Le premier immeuble se voit toujours, donc il doit cacher tout ce qui est derrière lui, et seule la plus grande hauteur en est capable. Écris l’immeuble le plus haut, un 5 sur une grille 5×5, dans la case juste à côté de chaque 1. Rien d’autre à faire : pas de notes, pas de calcul. Fais-le avant tout le reste, car chacun de ces immeubles retire aussi le 5 de toute sa ligne et de toute sa colonne, et c’est souvent ce dont l’étape suivante a besoin.

Un 1 ne dit rien sur le reste de sa ligne. Les cases derrière l’immeuble le plus haut sont cachées quoi qu’elles contiennent, la ligne reste donc ouverte. Son autre bout peut toutefois porter un nombre utile, et c’est justement sur les cases lointaines qu’il agit.

Où regarder : les quatre bords d’une grille vierge. Il y a souvent deux ou trois 1, et ce sont eux qui offrent le départ.

Technique 2 · base

Le nombre plein

L’inverse du 1, c’est un nombre égal à la taille de la grille : un 5 sur une grille 5×5. Voir les cinq toits veut dire qu’aucun immeuble n’en cache un autre, donc chacun doit dépasser tous ceux qui sont devant lui. Un seul ordre le permet : 1, 2, 3, 4, 5, en montant depuis le nombre. Remplis toute la ligne d’un coup. Le nombre plein est plus rare que le 1, et c’est le nombre le plus généreux qu’une grille puisse donner : il fixe cinq cases et raye cinq hauteurs dans cinq autres lignes.

Quand un nombre plein et un 1 se font face sur la même ligne, ils sont d’accord : le 1 voit le 5 à son bout de la ligne, là où l’escalier se termine. Repérer cette paire permet de vérifier vite qu’on a bien lu les deux nombres.

Où regarder : tout nombre égal à la taille de la grille. Puis l’autre bout de la même ligne, pour y chercher un 1.

Technique 3 · base

La distance du plus haut au bord

Tout nombre entre 2 et N - 1 tient les grands immeubles à distance. Un nombre c demande c toits visibles, et chaque immeuble visible se trouve devant le plus haut, donc le plus haut a au moins c - 1 cases devant lui. Sur une grille 5×5, un 4 repousse le 5 d’au moins trois cases vers l’intérieur. Le même calcul limite chaque case : la case à côté du nombre c vaut au plus N - c + 1, et chaque case plus loin peut avoir un étage de plus. Avec un 4 sur une grille 5×5, cela donne 1 ou 2, puis jusqu’à 3, puis jusqu’à 4.

Note ces limites au premier tour des bords, nombre par nombre. Un 2 n’exclut que l’immeuble le plus haut juste à côté, mais un 3 ou un 4 remplit des morceaux entiers de ligne de petites notes, et les techniques suivantes consistent justement à réduire ces notes.

Où regarder : les plus grands nombres qui ne valent pas N, et les cases juste à côté.

Technique 4 · base

Dernière place, dernière hauteur

Rooftops est aussi un carré latin : chaque hauteur une fois par ligne et par colonne, comme un sudoku sans carrés. Cela donne deux vérifications rapides. Le singleton caché : une hauteur qui ne tient que dans une case d’une ligne va dans cette case. Le singleton nu : une case à qui il ne reste qu’une hauteur la reçoit. Le singleton caché passe souvent inaperçu, car la case elle-même peut encore paraître ouverte. Prends une hauteur, souvent la plus grande, et demande-toi pour chaque ligne où elle peut encore aller. Chaque immeuble de cette hauteur déjà posé bloque toute sa colonne.

Ces vérifications ne coûtent rien, alors fais-les après chaque nouvel immeuble. Une étape au bord donne un singleton au milieu, le singleton retire une hauteur d’une ligne qui le croise, et cette ligne livre souvent sa case suivante toute seule.

Où regarder : la hauteur déjà la plus présente sur la grille. Ses dernières places manquantes sont les plus faciles à trouver.

Technique 5 · intermédiaire

Les nombres opposés

Deux nombres aux deux bouts d’une même ligne travaillent ensemble. L’immeuble le plus haut se voit des deux côtés, donc les deux nombres le comptent, et chacun a besoin de ses autres toits devant lui. À eux deux, ils ne dépassent jamais N + 1. Quand ils font exactement N + 1, il n’y a plus aucune marge : l’immeuble le plus haut est à c cases du nombre c, des deux côtés à la fois. Sur une grille 5×5, un 4 face à un 2 place le 5 en quatrième case depuis le 4. Un 3 face à un 3 le place au milieu.

Quand la somme est plus petite, la paire laisse quand même une fenêtre courte au plus haut : au moins a - 1 cases depuis un bout et b - 1 depuis l’autre. Combine cette fenêtre avec les singletons : un 5 déjà posé dans une colonne qui croise ferme souvent le dernier trou.

Où regarder : les lignes avec un nombre à chaque bout. Additionne-les et compare avec N + 1.

Technique 6 · intermédiaire

Le 2 et l’immeuble le plus haut

Une fois l’immeuble le plus haut d’une ligne posé, un 2 devient très précis. Le 2 voit le premier immeuble et le plus haut, rien d’autre. Le premier immeuble, celui juste à côté du nombre, doit donc dépasser tous les immeubles entre lui et le plus haut. Sauf si le plus haut est juste derrière lui, la première case n’a jamais la plus petite hauteur restante, et le deuxième plus haut des immeubles restants est soit dans cette première case, soit caché derrière le plus haut. Quand il ne reste que deux ou trois cases ouvertes, cela les fixe généralement toutes.

Lis-le avec les colonnes. Dans l’exemple, la première case depuis la droite ne peut pas être le 4, car sa colonne en a déjà un, c’est donc le 3, et la case devant doit être encore plus basse. Un 2 avec le plus haut loin de lui est l’un des nombres les plus forts d’une grille à moitié résolue.

Où regarder : un 2 dont la ligne a déjà son immeuble le plus haut, avec quelques cases ouvertes entre les deux.

Technique 7 · intermédiaire

Éliminer des hauteurs par la visibilité

C’est la méthode générale derrière les trois techniques précédentes. Prends une ligne avec un nombre et quelques cases ouvertes, et teste chaque note de chaque case : si cette hauteur était là, la ligne pourrait-elle encore montrer le bon nombre de toits ? Si aucun ordre des hauteurs restantes ne marche, raye la note. En pratique, il faut rarement écrire tous les ordres. Cherche les immeubles qui seront visibles de toute façon, en général le plus haut et le deuxième plus haut, et compte-les d’abord. S’ils atteignent déjà le nombre, chaque immeuble devant eux doit rester caché.

Caché veut dire plus bas que quelque chose devant lui. Cette seule idée retire la plupart des notes : un grand immeuble entre le nombre et le plus haut est visible, sauf si un encore plus grand se tient devant lui. Quand la ligne a un nombre à chaque bout, teste chaque note contre les deux.

Où regarder : une ligne avec un nombre et trois ou quatre cases ouvertes, quand son immeuble le plus haut est posé ou n’a plus que deux places.

Technique 8 · avancée

L’anticipation par le compte des toits

Les grilles difficiles arrivent à un point où aucune ligne seule ne donne plus rien. Choisis alors une case avec deux notes, de préférence à côté d’un nombre, et imagine l’une des deux. À partir de là, suis seulement les étapes forcées : singletons et nombres du bord, rien qui demande un choix. Si un nombre doit bientôt voir trop ou trop peu de toits, la hauteur imaginée était fausse, et la case a l’autre. Ce n’est pas deviner : tu ne gardes jamais la hauteur imaginée, seulement la preuve qu’elle échoue, et rien ne change sur la grille avant que cette preuve soit complète.

Garde la chaîne courte et surveille les nombres. Les lignes avec deux ou trois notes par case épuisent leurs options le plus vite. Si une chaîne s’allonge sans contradiction, abandonne-la et essaie l’autre hauteur de la même case, ou une autre case à côté d’un nombre.

Où regarder : les cases à exactement deux notes à côté d’un nombre, là où une ligne ou une colonne est presque pleine.

Erreurs fréquentes

• Compter les immeubles cachés. Un nombre compte les toits visibles, pas les immeubles. Un 3 derrière un 4 est caché, même tout près du bord.
• Oublier les cases lointaines. Les limites du bord ne valent que d’un côté. Les cases loin d’un nombre reçoivent leurs limites du nombre à l’autre bout, ou d’aucun.
• Lire un 2 comme « le plus haut est en deuxième ». Un 2 dit seulement que deux toits sont visibles. L’immeuble le plus haut peut être n’importe où entre la deuxième case et l’autre bout.
• Écrire une supposition. L’anticipation se fait dans la tête ou dans les notes. Poser l’immeuble imaginé et continuer cache l’erreur sous les étapes suivantes.