Wolkenkrabbers oplossen: zo krijg je elke Rooftops-puzzel af

Techniek 1 · basis

De 1 aan de rand

Een 1 aan de rand betekent dat je daarvandaan precies één dak ziet. Het eerste gebouw zie je altijd, dus dat moet alles erachter verbergen, en alleen de grootste hoogte kan dat. Zet het hoogste gebouw, een 5 op een rooster van 5×5, in het vakje direct naast elke 1. Meer is niet nodig: geen notities, niet tellen. Doe het voor al het andere, want elk van deze gebouwen haalt de 5 ook uit zijn hele rij en kolom, en precies dat heeft de volgende stap vaak nodig.

Over de rest van zijn rij of kolom zegt een 1 niets. De vakjes achter het hoogste gebouw zijn verborgen, wat er ook staat, dus die blijven open. Aan het andere eind kan wel een nuttig randgetal staan, en juist op de verre vakjes doet dat zijn werk.

Waar je moet kijken: alle vier de kanten van een leeg rooster. Een puzzel heeft meestal twee of drie 1'en, en die zijn je gratis begin.

Techniek 2 · basis

Het volle getal

Het tegendeel van een 1 is een randgetal zo groot als het rooster: een 5 op een rooster van 5×5. Alle vijf daken zien betekent dat geen gebouw een ander mag verbergen, dus elk gebouw moet hoger zijn dan alle gebouwen ervoor. Daar is maar één volgorde voor: 1, 2, 3, 4, 5, oplopend vanaf het getal. Vul de hele rij of kolom in één keer. Een vol getal komt minder vaak voor dan een 1, en het is het gulste randgetal dat een puzzel kan geven: het legt vijf vakjes vast en streept vijf hoogtes weg in vijf andere lijnen.

Staan een vol getal en een 1 tegenover elkaar aan dezelfde lijn, dan zijn ze het eens: de 1 ziet de 5 aan zijn kant, precies waar de trap eindigt. Dat paar zien is een snelle controle dat je beide getallen goed hebt gelezen.

Waar je moet kijken: elk randgetal zo groot als het rooster. Kijk dan aan het andere eind van die lijn of er een 1 staat.

Techniek 3 · basis

Hoe ver het hoogste gebouw van een getal staat

Elk randgetal tussen 2 en N - 1 houdt de hoge gebouwen bij zich vandaan. Een getal c wil c daken zien, en elk zichtbaar gebouw staat vóór het hoogste, dus het hoogste heeft minstens c - 1 vakjes voor zich. Op een rooster van 5×5 duwt een 4 de 5 minstens drie vakjes naar binnen. Dezelfde telling begrenst elk vakje: het vakje naast getal c is hoogstens N - c + 1, en elke stap verder naar binnen mag één verdieping hoger. Met een 4 op een rooster van 5×5 geeft dat 1 of 2, dan hoogstens 3, dan hoogstens 4.

Schrijf deze grenzen als notities bij je eerste ronde langs de randen, getal voor getal. Een 2 sluit alleen het hoogste gebouw direct ernaast uit, maar een 3 of 4 vult hele stukken van een lijn met kleine notities, en de latere technieken werken door precies die notities kleiner te maken.

Waar je moet kijken: de hoogste randgetallen die niet N zijn, en de vakjes die er het dichtst bij liggen.

Techniek 4 · basis

Laatste plek en laatste hoogte

Rooftops is ook een Latijns vierkant: elke hoogte één keer in elke rij en kolom, zoals een sudoku zonder blokken. Dat geeft twee snelle checks. Een verborgen single: een hoogte die in een lijn nog maar op één vakje kan, komt daar. Een naakte single: een vakje met nog maar één hoogte over krijgt die hoogte. De verborgen single is degene die spelers missen, omdat het vakje zelf er nog open uit kan zien. Kies een hoogte, vaak de hoogste, en vraag per rij waar hij nog kan. Elk gebouw van die hoogte dat al op het rooster staat, blokkeert zijn hele kolom.

Deze checks kosten weinig, dus doe ze na elk nieuw gebouw. Een stap aan de rand levert een single in het midden op, de single haalt een hoogte uit een kruisende lijn, en die lijn geeft zijn volgende vakje vaak vanzelf prijs.

Waar je moet kijken: de hoogte die het vaakst al op het rooster staat. Zijn laatste lege plekken vind je het makkelijkst.

Techniek 5 · gemiddeld

Getallen tegenover elkaar

Twee randgetallen aan de twee einden van één lijn werken samen. Het hoogste gebouw zie je van beide kanten, dus beide getallen tellen het mee, en elk getal heeft zijn andere daken ook vóór dat gebouw nodig. Samen komen de twee getallen nooit boven N + 1. Komen ze precies op N + 1, dan is er geen speling meer: het hoogste gebouw staat c vakjes vanaf getal c, aan beide kanten tegelijk. Op een rooster van 5×5 zet een 4 tegenover een 2 de 5 op de vierde plek vanaf de 4. Een 3 tegenover een 3 zet hem in het midden.

Is de som lager, dan laat het paar nog een klein venster over voor het hoogste gebouw: minstens a - 1 vakjes van het ene eind en b - 1 van het andere. Combineer dat venster met de singles: een 5 die al in een kruisende kolom staat, sluit vaak het laatste gat.

Waar je moet kijken: lijnen met aan beide einden een getal. Tel ze op en vergelijk met N + 1.

Techniek 6 · gemiddeld

Een 2 en het hoogste gebouw

Staat het hoogste gebouw van een lijn eenmaal, dan wordt een 2 heel precies. De 2 ziet het eerste gebouw en het hoogste, en verder niets. Het eerste gebouw, dat direct naast het getal, moet dus hoger zijn dan elk gebouw tussen hem en het hoogste. Tenzij het hoogste er direct achter staat, is het eerste vakje nooit de laagste hoogte die over is, en het op één na hoogste gebouw dat over is, staat óf in dat eerste vakje óf verstopt achter het hoogste. Zijn er nog maar twee of drie vakjes open, dan legt dit ze meestal allemaal vast.

Lees het samen met de kolommen. In het voorbeeld kan het eerste vakje van rechts geen 4 zijn omdat zijn kolom er al een heeft, dus het moet de 3 zijn, en het vakje ervoor moet nog lager zijn. Een 2 met het hoogste gebouw ver weg is een van de sterkste randgetallen op een half opgeloste puzzel.

Waar je moet kijken: een 2 waarvan de lijn het hoogste gebouw al heeft, met een paar open vakjes ertussen.

Techniek 7 · gemiddeld

Hoogtes wegstrepen met zichtbaarheid

Dit is de algemene methode achter de laatste drie technieken. Neem een lijn met een randgetal en een paar open vakjes, en test elke notitie in elk vakje: als die hoogte daar stond, kan de lijn dan nog het juiste aantal daken laten zien? Werkt geen enkele volgorde van de overige hoogtes, streep de notitie dan weg. In de praktijk hoef je zelden alle volgordes op te schrijven. Zoek de gebouwen die hoe dan ook zichtbaar zijn, meestal het hoogste en het op één na hoogste, en tel die eerst. Halen ze het randgetal al, dan moet elk gebouw ervoor verborgen blijven.

Verborgen betekent lager dan iets ervoor. Dat ene idee haalt de meeste notities weg: een hoog gebouw tussen het getal en het hoogste is zichtbaar, tenzij er een nog hoger gebouw voor staat. Heeft de lijn aan beide einden een getal, test elke notitie dan tegen allebei.

Waar je moet kijken: een lijn met een randgetal en drie of vier open vakjes, nadat je het hoogste gebouw hebt gezet of tot twee vakjes hebt teruggebracht.

Techniek 8 · gevorderd

Wat als: vooruit tellen met daken

Moeilijke puzzels komen op een punt waar geen enkele lijn nog iets geeft. Kies dan een vakje met twee notities, liefst naast een randgetal, en stel je er één van voor. Volg vanaf daar alleen de stappen die vastliggen: singles en randgetallen, niets waarbij je moet kiezen. Moet een randgetal al snel te veel of te weinig daken zien, dan was de bedachte hoogte fout en krijgt het vakje de andere. Dit is geen gokken: je houdt de bedachte hoogte nooit, alleen het bewijs dat hij niet werkt, en er verandert niets op het rooster tot dat bewijs rond is.

Houd de keten kort en let op de randgetallen. Rijen met twee of drie notities per vakje raken het snelst door hun mogelijkheden heen. Wordt een keten lang zonder tegenspraak, laat hem dan los en probeer de andere hoogte van hetzelfde vakje, of een ander vakje naast een randgetal.

Waar je moet kijken: vakjes met precies twee notities naast een randgetal, in lijnen waar een rij of kolom bijna vol is.

Veelgemaakte fouten

• De verborgen gebouwen meetellen. Een randgetal telt de daken die je ziet, niet de gebouwen. Een 3 achter een 4 is verborgen, hoe dicht hij ook bij de rand staat.
• De verre vakjes vergeten. De randgrenzen komen maar van één kant. De vakjes ver van een getal krijgen hun grenzen van het getal aan het andere eind, of van geen.
• Een 2 lezen als "het hoogste staat tweede". Een 2 zegt alleen dat je twee daken ziet. Het hoogste gebouw kan overal staan, van het tweede vakje tot het verre eind.
• Een gok invullen. Wat als doe je in je hoofd of in notities. Zet je het bedachte gebouw neer en speel je door, dan verdwijnt de foute stap onder de stappen erna.